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测量不确定度评定与表示》（JJF1059-1999）
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| 发布时间：2012.03.14 新闻来源： 浏览次数： |
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中华人民共和国国家计量技术规范
测量不确定度评定与表示
Ev aluationa nd Expression
of Uncertainty in Measurement
JJ F1 0 59 - 1 99 9
(代替《JJG1027-s1测量误差及数据处理》
中 的 测 量 误 差 部 分 )
归口单位:全国法制计量技术委员会
起草单位:中国计量科学研究院
1566 综合卷，计童
本 规 范 经国家质量技术监督局于1999年1月11日批准，并自1999年5月1日起
施行。
JJF1059-1999 代替JJG1027--91《测量误差及数据处理》中的测量误差部分
本规范由全国法制计量技术委员会解释
本规范起草人李慎安
施 昌 彦 ( 中 国 计 t 科 学 研 究 院 )
刘 风 (中 国 计 t 科 学 研 究 院 )
JJF 1059- 1999 1567
目次
1 范围···············································································。········。····⋯⋯ 1568
2 基本术语及其概念······································································。。···⋯⋯ 1569
3 产生测量不确定度的原因和测量模型化················································⋯⋯ 1574
4 标准不确定度的A类评定·······························································⋯⋯ 1576
5 标准不确定度的B类评定························。······································⋯⋯ 1578
6 合成标准不确定度的评定····································································一1581
7 扩展不确定度的评定········································································⋯⋯ 1586
8 测量不确定度的报告与表示·······························································⋯⋯ 1587
附录A t分布在不同置信概率P与自由度L的t, (v)值(t值)(补充件) """"""""" 1589
附录B 概率分布情况的估计(参考件) ················································⋯⋯ 1590
附录C 有关量的符号汇总(参考件) ···················································⋯⋯ 1591
附录D 术语的英汉对照(参考件) ······················································⋯⋯ 1595
1565 综合卷·计鱼
一 切测 量 结果都不可避免地具有不确定度。《测量不确定度表示指南》(Guidet ot he
Expression of Uncertainty in Measurement以下简称GUM)，由国际标准化组织(ISO)计
量技术顾问组第三工作组(ISO/TAG4/WG3)起草，于1993年以7个国际组织的名义联
合发布，这7个国际组织是国际标准化组织(ISO)、国际电工委员会(IEC)、国际计量局
(BIPM )、国际法制计量组织(OIML)、国际理论化学与应用化学联合会(IUPAC)、国际
理论物理与应用物理联合会(IUPAP),国际临床化学联合会(IFCC), GUM采用当前国
际通行的观点和方法，使涉及测量的技术领域和部门，可以用统一的准则对测量结果及其
质量进行评定、表示和比较。在我国实施GUM，不仅是不同学科之间交往的需要，也是全
球市场经济发展的需要。本规范给出的测量不确定度评定与表示的方法从易于理解、便于
操作、利于过渡出发，原则上等同采用GUM 的基本内容，对科学研究、工程技术及商贸中
大量存在的测量结果的处理和表示，均具有适用性。本规范的目的是:
— 提 出如何以完整的信息评定与表示测量不确定度;
— 提 供对测量结果进行比较的基础。
评 定 与 表示测量不确定度的方法满足以下要求:
a) 适 用 于各种测量和测量中所用到的各种输人数据，即具有普遍适用性
b) 在 本 方法中表示不确定度的量应该:
— 能 从对不确定度有贡献的分量导出，且与这些分量怎样分组无关，也与这些分量
如何进一步分解为下一级分量无关，即它们是内部协调一致的;
— 当 一个测量结果用于下一个测量时，其不确定度可作为下一个测量结果不确定度
的分量，即它们是可传播的。
c) 在 诸 如工业、商业及与健康或安全有关的某些领域中，往往要求提供较高概率的置
信区间，本方法应能方便地给出这样的区间及相应的置信概率。
本 规 范 给出了常见情况下，评定与表示测量不确定度的原则、方法和简要步骤，其中
的举例，旨在对原则和方法作详细说明，以便于进一步理解和有助于实际应用。附录中所
用的基本符号，取自GUM 及有关的ISO, IEC标准。
范围
1. 1 本规范所规定的测量中评定与表示不确定度的通用规则，适用于各种准确度等级的测
量领域，例如:
a) 建 立 国家计量基准、计量标准及其国际比对;
b) 标 准 物质、标准参考数据;
C 测 量 方法、检定规程、检定系统、校准规范等;
d) 科 学 研究及工程领域的测量;
e) 计 量 认证、计量确认、质量认证以及实验室认可;
f) 测 量 仪器的校准和检定;
9) 生 产 过程的质量保证以及产品的检验和测试;
JJF 1059- 1999 1569
h) 贸 易 结算、医疗卫生、安全防护、环境监测及资源测量。
1.2 本规范主要涉及有明确定义的，并可用唯一值表征的被测量估计值的不确定度。至于
被测量呈现为一系列值的分布或取决于一个或多个参量(例如，以时间为参变量)，则对被
测量的描述是一组量，应给出其分布情况及其相互关系。
2 基本术语及其概念
本 规 范 中所使用的术语及其定义与JJF1001-1998《通用计量术语及定义》一致，但其
中楷体字的内容为本规范所增加。
2.1 [可测量的〕奄量「measurable] quantity
现 象 、 物体或物质可定性区别和定量确定的属性。
注 :
1 术 语 “量”可指一般意义的量或特定量。一般意义的量如长度、时间、质量、温度、电阻、物质
的量浓度;特定量如某根棒的长度、某根导线的电阻、某份酒样中乙醇的浓度。
2 可 相 互比较并按大小排序的量称为同种量。若干同种量合在一起可称之为同类量，如功、热、能;
厚度、周长、波长。
3 量 的 符号参照GB3100-3102-1993《量和单位)。
2.2 量值value of a quantity
一 般 由 一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。
例 : 5. 34m或534cm,1 5kg,l os，一40'C。
注 :对 于 不能由一个数乘以测量单位所表示的量，可参照约定参考标尺，或参照测量程序，或两者都
参照的方式表示。
2.3 仁量的〕真值true value [of a quantity]
与 给 定 的特定量定义一致的值。
注
1 量 的 真值只有通过完善的测量才有可能获得
2 真 值 按其本性是不确定的。
3 与 给 定的特定量定义一致的值不一定只有一个
4 G U M 用“被测量之值”代替“真值”。在不致引起混淆时，推荐这一用法。
2.4 [量的]约定真值conventional true value [of a quantity]
对 于 给 定目的具有适当不确定度的、赋予特定量的值，有时该值是约定采用的。
例 :a ) 在给定地点，取由参考标准复现而赋予该量的值作为约定真值。
b) 常 数 委 员 会 (CODATA) 1986年推荐的阿伏加德罗常数值6.0 221367X 1 02'
mot一’。
注 :
1 约 定 真值有时称为指定值、最佳估计值、约定值或参考值.参考值在这种意义上使用不应与参考
条件中的参考值混淆。
2 常 用 某量的多次测量结果来确定约定真值。
淤方括号「es 中的字一般可省略，下同。
1570 综合卷·计量
2.5 被测量measurand
作 为 测 量对象的特定量。
例 : 给 定的水样品在20C时的蒸汽压力。
注 :
1 对 被 测量的详细描述，可要求包括对其他有关量(如时间、温度和压力)作出说明
2 实 践 中，被测量应根据所需准确度予以完整定义，以便对所有的测量，其值是单一的。例如:一
根标称值为lm长的钢棒其长度需测至微米级准确度，其技术说明应包括给定温度和压力。但若只需毫米
级准确度，则无需规定温度、压力和其他影响量的值。
2.6 测量结果result of a measurement
由测 量 所 得到的赋予被测量的值
注
1 在 给 出测量结果时，应说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果，还应表明它是否为若
干个值的平均值。
2 在 测 量结果的完整表述中，应包括测量不确定度，必要时还应说明有关影响量的取值范围。
3 测 量 结果仅是被测量之值的估计
4 很 多 情况下，测量结果是在重复观测的情况下确定的。
5 在 测 量结果的完整表述中，还应给出自由度。
2.7 iM量准确度accuracyo fm easurement
测 量 结 果与被测量的真值之间的一致程度。
注 :
1 不 要 用术语“精密度”代替“准确度，’o
2 准 确 度是一个定性概念。例如:可以说准确度高低、准确度为0.25级、准确度为3等及准确度符
合XX标准;尽量不使用如下表示:准确度为0.25%, 16mg,镇16mg及士16mgo
2.8 [测量结果的]重复性repeatability [of results of measurements]
在 相 同 测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。
注 :
1 这 些 条件称为“重复性条件”
2 重 复 性条件包括:
相 同 的 测 量 程 序 ;
相 同 的 观 测 者 ;
在 相 同 的 条 件 下 使用相同的测量仪器:
相 同 地 点 ;
在 短 时 间 内 重 复 测量。
3 重 复 性可以用测量结果的分散性定量地表示。
4 重 复 性用在重复性条件下，重复观测结果的实验标准差(称为重复性标准差)s定量地给出。
5 重 复 观测中的变动性，是由于所有影响结果的影响量不能完全保持恒定而引起的.
2.9 「测量结果的口复现性reproducibility [or results of measurements]
在 改 变 了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。
注 :
1 在 给 出复现性时，应有效说明改变条件的详细情况
2 可 改 变的条件包括
JJF 1059- 1999 1571
测 量 原 理 ;
测 量 方 法 卜
观 测 者 ;
测 量 仪 器 ;
参 考 测 量 标 准 ;
地 点 ;
使 用 条 件 ;
时 间
3 复 现 性可用测量结果的分散性定量地表示
4 测 量 结果在这里通常理解为已修正结果.
5 在 复 现性条件下，复现性用重复观测结果的实验标准差(称为复现性标准差):*定量地给出
6 又 称 为“再现性”。
2.10 实验标准[偏〕差experimental standard deviation
对 同 一 被测量作n次测量，表征测量结果分散性的量、可按下式算出:
5( q
式中:q*是第k次测量结果;4是n
注 :
次测量的算术平均值
1 当 将 ，个测量结果视作分布的样本时，9是该分布的期望值k。的无偏估计，实验方差产
一分布的方差护的无偏估计.
2 :( q,) / 为q的分布的标准差估计，称为平均值的实验标准差。
3 将 平 均值的实验标准差称为平均值的标准误差是不正确的
4 s( q,) 与，(qk)/ 了.万的自由度相同，均为，-1e
5 式 (1)称为贝塞尔公式。
2.11 [测量〕不确定度uncertainty [ofa m easurement习
表 征 合 理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。
注 :
1 此 参 数可以是诸如标准差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。
(1 )
(，*)是这
2 测 量 不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准差
表征另一些分量则可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准差表征
3 测 量 结果应理解为被测量之值的最佳估计，全部不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系
统效应引起的(如，与修正值和参考测量标准有关的)分量
4 不 确 定度恒为正值。当由方差得出时，取其正平方根。
5 不 确 定度一词指可疑程度，广义而言，测量不确定度意为对测量结果正确性的可疑程度。不带形
容词的不确定度用于一般概念，当需要明确某一测量结果的不确定度时，要适当采用一个形容词，比如合
成不确定度或扩展不确定度;但不要用随机不确定度和系统不确定度这两个术语，必要时可用随机效应导
致的不确定度和系统效应导致的不确定度来说明。
6 JJ F 1001-1998《通用计量术语及定义》给出的上述不确定度定义是可操作的定义，即着眼于测量
结果及其分散性。虽然如此，这个定义从概念上来说与下述曾使用过的定义并不矛盾:
— 由 测 量 结果给出的被测量估计值的可能误差的度量
1572 综合卷·计鱼
— 表 征 被 测量的真值所处范围的评定。
不 论 采 用 以 上 哪 一 种 不确定度的概念，其评定方法均相同，表达形式也一样.
7 本 术 语中的方括弧系本规范按GUM所加。
2.12 标准不确定度standard uncertainty
以标 准差 表示的测量不确定度。
2.13 不确定度的A类评定typeA e valuationo fu ncertainty
用 对 观 测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。
注 : 不 确定度的A类评定，有时又称为A类不确定度评定。
2. 14 不确定度的B类评定type B evaluation of uncertainty
用 不 同于 对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。
注 :不 确 定度的B类评定，有时又称为B类不确定度评定
2.15 合成标准不确定度combined standard uncertainty
当测 量 结 果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量的方差和协方差算得的标准不
确定度。
注 : 它 是测量结果标准差的估计值
2.16 扩展不确定度expanded uncertainty
确 定 测 量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。
注 : 扩 展不确定度有时也称展伸不确定度或范围不确定度。
2.17 包含因子coverage factor
为 求 得 扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。
注 :
1 包 含 因子等于扩展不确定度与合成标准不确定度之比。
2 包 含 因子有时也称覆盖因子
3 根 据其 含义可分为两种k=Ulu;k,=U,lu。
4 一 般 在2-3范围内。
5 下 脚 标P为置信概率，即置信区间所需要的概率。
2.18 自由度degrees of freedom
在 方 差 的计算中，和的项数减去对和的限制数。
注 :
1 在 重 复性条件下，对被测量作，次独立测量时所得的样本方差为(讨+谜+·+试)/(u-1)，其
中残差为v.= z一王，v=二一王，，.，v一二一歹。因此，和的项数即为残差的个数，，而Ev:=。是一个
约束条件，即限制数为1。由此可得自由度v=n-lo
2 当 测 量所得n组数据用t个未知数按最小二乘法确定经验模型时，自由度,-.-t.
3 自 由 度反映相应实验标准差的可靠程度，用于在评定扩展不确定度U，时求得包含因子k,。合成标
准不确定度u}妇的自由度，称为有效自由度均，当v接近正态分布时，包含因子等于t分布临界值，即
k,-t, (vf,)
2.19 置信概率confidencel evel;l evelo fc onfidence
与 置 信 区间或统计包含区间有关的概率值(1-a)o
注 :
1 符 号 为D,h =1一氏
JJF 1059- 1999 1573
2 经 常 用百分数表示
3 又 称 置信水平，置信系数，置信水准。
2.20 仁测量口误差error [of measurement]
测 量 结 果减去被测量的真值。
注 :
1 由 于 真值不能确定，实际上用的是约定真值。
2 当 有 必要与相对误差相区别时，此术语有时称为测量的绝对误差。注意不要与误差的绝对值相混
淆，后者为误差的模。
3 误 差 之值只取一个符号，非正即负
4 误 差 与不确定度是完全不同的两个概念，不应混淆或误用对同一被测量不论其测量程序、条件
如何，相同测量结果的误差相同;而在重复性条件下，则不同结果可有相同的不确定度。
5 测 量 仪器的特性可以用[示值]误差、最大允许误差等术语描述.
6 随 机 误差:测量结果与重复性条件下对同一量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。由于实
际上只能进行有限次测量，因而只能得出这一侧量结果中随机误差的估计值。随机误差大抵是由影响量的
随机时空变化所引起，这种变化带来的影响称为随机效应，它们导致重复观侧中的分散性。
7 系 统 误差:在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量真值之
差。由于系统误差及其原因不能完全获知，因此通过修正值对系统误差只能有限程度的补偿。当测量结果
以代数和与修正值相加之后，其系统误差之模会比修正前的要小，但不可能为零。来源于影响量的已识别
的效应称为系统效应
2.21 修正值correction
用 代 数 法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值。
注 :
1 修 正 值等于负的系统误差。
2 由 于 系统误差不能完全获知，因此这种补偿并不完全。
3 为 补 偿系统误差，而与未修正测量结果相乘的因子称为修正因子。
4 已 修 正的测量结果即使具有较大的不确定度，但可能仍十分接近被测量的真值(即误差甚小)，因
此，不应把测量不确定度与已修正结果的误差相混淆。
2.22 相关系数correlation coefficient
相 关 系 数是两个变量之间相互依赖性的度量，它等于两个变量间的协方差除以各自方
差之积的正平方根，因此
P( y ,z ) = P( z, y )
= v (少 ,z ) _ v (y ,z )
丫v (y ,夕 )v( z, z) a ( y) Q( z)
其估计值
r( y z ) = r (z 1,y )
S( y z )
%/S(y ，，)S(z，二)
S(夕,z)
S(夕)S(z)
相关系数是一个纯数，一1<p<+1或一1毛二(y，z)<+1
注 :
P和r是一1和+1范围内的纯数，而协方差通常具有不方便的量纲。因此，通常相关系数比协方
1574 综合卷·计量
差更有用
2 对 于 多变量概率分布，通常给出相关系数矩阵，而不是协方差矩阵。由于P (y,刃=1和r (y
笋)=1，所以该矩阵的对角线元素为1
3 如 果 输人估计值x，和二、是相关的，并且， 变化a，使x。产生变化a，则与二。和二，相应的相关
系数由下式近似估计
r(x )七 u( x )氏 /u (x ;) a;
这 个 关 系式可以用作基本的相关系数经验估计公式。如果两者的相关系数已知，那么此式也可用于计
算由一个输人估计值变化而引起另一个变化的近似值.
2.23 独立independence
如 果两 个 随机变量的联合概率分布是它们每个概率分布的乘积，那么这两个随机变量
是统计独立的。
沐 . 如果 两个RA栩亦量县独布的，那么它们的协方差和相关系数等于零，但反之不一定成立。
3 产生测f不确定度的原因和测f模型化
3.1 测量过程中的随机效应及系统效应均会导致测量不确定度，数据处理中的修约也会导
致不确定度。这些从产生不确定度的原因上所作的分类，与从评定方法上所作的A, B分类
之间不存在任何联系。
A, B 分 类旨在指出评定的方法不同，只是为了便于理解和讨论，并不意味着两类分量
之间存在本质上的区别。它们都基于概率分布，并都用方差或标准差定量表示，为方便起
见而称为A类标准不确定度和B类标准不确定度。表征A类标准不确定度分量的估计方差
,z，是由一系列重复观测值计算得到的，即为统计方差估计值，，。标准不确定度“为,I的
正平方根值，故“=: B类标准不确定度分量的方差估计值uz，则是根据有关信息来评定
的，即通过一个假定的概率密度函数得到的，此函数基于事件发生的可信程度，即主观概
率或先验概率。
3.2 测量结果的不确定度反映了对被测量之值的认识不足，借助于已查明的系统效应对测
量结果进行修正后，所得到的只是被测量的估计值，而修正值的不确定度以及随机效应导
致的不确定度依然存在。
3.3 测量中可能导致不确定度的来源一般有:
a) 被 测 量的定义不完整;
b) 复 现 被测量的测量方法不理想;
c) 取 样 的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量;
d) 对 测 量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善;
e) 对 模 拟式仪器的读数存在人为偏移;
f) 测 量 仪器的计量性能(如灵敏度、鉴别力阑、分辨力、死区及稳定性等)的局限性;
9) 测 量标 准或标准物质的不确定度;
h) 引 用 的数据或其他参量的不确定度;
i) 测 量 方法和测量程序的近似和假设;
户 在 相 同条件下被测量在重复观测中的变化。
上 述 不 确定度的来源可能相关，例如，第7项可能与前面各项有关。
JJF1059- 1999 1575
对 于 那 些尚未认识到的系统效应，显然是不可能在不确定度评定中予以考虑的，但它
可能导致测量结果的误差。
3.4 测量不确定度通常由测量过程的数学模型和不确定度的传播律来评定。由于数学模型
可能不完善，所有有关的量应充分地反映其实际情况的变化，以便可以根据尽可能多的观
测数据来评定不确定度。在可能情况下，应采用按长期积累的数据建立起来的经验模型。核
查标准和控制图可以表明测量过程是否处于统计控制状态之中，有助于数学模型的建立和
-XI量不确定度的评定。
3.5 在修正值的不确定度较小且对合成标准不确定度的贡献可忽略不计的情况下，可不予
考虑。如果修正值本身与合成标准不确定度比起来也很小时，修正值可不加到测量结果
之中。
3.6 在实际工作中，尤其是在法制计量领域中，被测量通过与相应的测量标准相比较获得
其估计值。对于测量所要求的准确度来说，测量标准的不确定度及比较过程导致的不确定
度，通常可以忽略不计。例如，用校准过的标准祛码检定商用台案秤。
3.7 当某些被测量是通过与物理常量相比较得出其估计值时，按常数或常量来报告测量结
果，可能比用测量单位来报告测量结果，有较小的不确定度。例如，一台高质量的齐纳电
压标准(Zener voltage standard)通过与约瑟夫逊效应电压基准相比较而被校准。该基准是
以国际计量委员会(CIPM)向国际推荐的约瑟夫逊常量K-。的约定值为基础的，当按约
定的K卜。作为单位来报告测量结果时，齐纳电压标准的已校准电压V 的相对合成标准
不确定度u-1 ( V)=u, (V,)/ V,=2X10-e,然而， 当V。按电压的单位伏特给出时，
u,，(V,) =4X10-'，因为K,。用Hz/V表示其量值时引人了不确定度
3.8 在测量不确定度评定中，也必须剔除测量结果中的异常值(通常由于读取、记录或分
析数据的失误所导致)。异常值的剔除应通过对数据的适当检验进行(例如，按GB4883-
1985《正态分布中异常值的判断和处理)。
3， 测量中，被测量Y(即输出量)由N个其他量X ，X2,⋯，XN，通过函数关系f来
确定，即:
Y = f( X ,,X ，⋯ , X" ) (2 )
式中，X，是对Y的测量结果y产生影响的影响量(即输入量)。式(2)称为测量模型或数
学模型。
如 被 测 量Y的估计值为y，输人量X 的估计值为z，则有:
y = f( X X 2" " ,X N) ( 3)
式 ( 2) 中大写字母表示的量的符号，在本规范中既代表可测的量，也代表随机变量
当叙述为X，具有某概率分布时，这个符号的含义就是后者。
在 一 列 观测值中，第k个X，的观测值用戈‘表示。如电阻器的电阻符号为R，则其观测
列中的第k次值表示为R,,
又 如 ，一 个随温度t变化的电阻器两端的电压为V，在温度为t。时的电阻为Ro，电阻
器的温度系数为a，则电阻器的损耗功率P (被测量)取决于V, Ro, a和t，即:
P = f (V ,R o, a, t) = V }/R o [1 + a (t 一 to) [ ( 4)
测 量 损 耗功率尸的其他方法可能有不同的数学模型。数学模型与测量程序有关
1576 综合卷·计量
3.10 输出量Y的输人量X ，Xz,⋯ ，XN本身可看作被测量，也可取决于其他量，甚至
包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的函数关系式，以至函数f不能
明确地表示出来。f也可以用实验的方法确定，甚至只用数值方程给出(数值方程为物理方
程的一种，用于表示在给定测量单位的条件下，数值之间的关系，而无物理量之间的关
系)。因此，如果数据表明f没有能将测量过程模型化至测量所要求的准确度，则必须在f
中增加输人量，即增加影响量。例如，在3. 9的例中，再增加以下输人量:电阻器上已知
的温度非均匀分布、电阻温度系数的非线性关系、电阻R与大气压力pam。的关系等。
式 ( 2) 也可能简单到Y=X,-X2，甚至Y=X,
3.11 式(3)中，被测量Y的最佳估计值Y在通过输人量X ，X,,⋯ ，XN的估计值X
‘2，’一x、得出时，可有以下两种方法:
a)
5) 且
，一歹一1nk}=, y k
一1nkE=, f (X,k,x2k,.-，二、*)
式中，y是取Y的n次独立观测值y*的算术平均值，其每个观测值y*的不确定度相同，
每个.Y*都是根据同时获得的N个输人量x，的一组完整的观测值求得的
b>
Y= f ( x X 21 ... ,X N ) ( 6)
式中 ，2i-1n卦k =1 .k,它是独立观测值T*的算术平均值。这一方法的实质是先求x的
最佳估计值玉，再通过函数关系式得出y。
以上 两 种 方法，当f是输人量x 的线性函数时，它们的结果相同。但当f是x 的非
线性函数时，式(6)的计算方法较为优越。
3.12 输人量X X,,⋯ ，XN可以是:
— 由 当前直接测定的量。它们的值与不确定度可得自单一观测、重复观测、依据经
验对信息的估计，并可包含测量仪器读数修正值，以及对周围温度、大气压、湿度等影响
的修正值。
— 由外 部来源引人的量。如已校准的测量标准、有证标准物质、由手册所得的参考
数据等
二， 的 不 确定度是Y的不确定度的来源。寻找不确定度来源时，可从测量仪器、测量环
境、测量人员、测量方法、被测量等方面全面考虑，应做到不遗漏、不重复，特别应考虑
对结果影响大的不确定度来源。遗漏会使Y的不确定度过小，重复会使Y的不确定度过大。
评 定 Y 的不确定度之前，为确定Y的最佳值，应将所有修正量加人测得值，并将所有
测量异常值剔除。
Y 的不 确 定度将取决于x，的不确定度，为此首先应评定5，的标准不确定度。(x)。评
定方法可归纳为A, B两类。
4 标准不确定度的A类评定
4.1 基本方法
JJF 1059- 1999 1577
在 重 复 性条件或复现性条件下得出n个观测结果xk，随机变量二的期望值产二的最佳估
计是n次独立观测结果的算术平均值x (x又称为样本平均值):
x一1n奋-k (7)
由 于 影 响量的随机变化或随机效应时空影响的不同，每次独立观测值二*不一定相同，
它与x之差称为残差v,
v, = x * 一 x (g )
观测值的实验方差按式(1)为:
s2(二*卜n1 1 } ( xk 一x)2 (9)
式中，、2(二*)是x*的概率分布的总体方差护的无偏估计，其正平方根:(x,)表征了二*的
分散性确切地说，表征了它们在x上下的分散性。s (xk)称为样本标准差或实验标准差，
表示实验测量列中任一次测量结果的标准差。通常以独立观测列的算术平均值作为测量结
果，测量结果的标准不确定度为:(x)=:(xk) / I'-n=u (x).
观测 次 数 。应充分多，以使x成为x的期望值/11的可靠估计值，并使:z( xk)成为扩
的可靠估计值;从而也使u (xk)更为可靠。
尽 管 方 差:2(二)在不确定度评定与表示中是更为基本的量，但由于标准差，(x)与二
有相同量纲，较为直观和便于理解，故使用得更为广泛。
4.2 对一个测量过程，若采用核查标准或控制图的方法使其处于统计控制状态，则该统计
控制下，测量过程的合并(组合)样本标准差:。表示为:
(10)
式中，，为每次核查时的样本标准差;k为核查次数。在相同情况下，由该测量过程对被测
量X进行n次重复观测，以算术平均值王作为测量结果，则该结果的标准不确定度为:
u(牙 ) = so/ 石 a ( l l
4.3 在规范化的常规测量中，如对被测量x，都进行了重复性条件下或复现性条件下的n
次独立观测，有x;，xiz，一，二二，其平均值为又，如有m组这样的被测量，按下式可得
Sv ( 2)为:
sp(x;)-而m (n; 1- 1 ) 叠誉 X, i-X , Y一 u,(z) (12)
如这m组已分别按其重复次数算出了各次实验标准差、，则:。可按下式给出:
S,(二)=1} Sz= u,( x (13)
式(12)和式(13)给出的、p，自由度为m (n-1),
如 对 m 个被测量X，所重复的次数不完全相同，设各为n，而X，的标准差、(a)的自
由度为，二一1，通过m个:，与，。可得耳为:
(z)一1 Evs,一。“(二)
之 山 片
(14)
1578 综合卷·I十童
自由 度 为 ，=艺，。
r = 1
4.4 在重复性条件或复现性条件下，对X 进行，，次独立观测，计算结果中的最大值与最
小值之差R (称为极差)，在X 可以估计接近正态分布的前提下，单次测量结果x的实验
标准差，(、)可按下式近似地评定:
、。二、_R二，，。二
‘了
(15)
式(15)中系数c及自由度，如表
表1 极差系数C及自由度v
2 3 4 5 6 7 8 9
c 1.13 1. 64 2.06 2. 33 2. 53 2 . 70 2 . 85 2 . 97
0.9 1 .8 2.7 3 .6 4 . 5 5 . 3 6 .0 6 .8
一 般在 测 量次数较小时采用该法。
4.5 当输人量X 的估计值二是由实验数据用最小二乘法拟合的曲线上得到时，曲线上任
何一点和表征曲线拟合参数的标准不确定度，可用有关的统计程序评定。
4.6 在重复性条件下所得的测量列的不确定度，通常比用其他评定方法所得到的不确定度
更为客观，并具有统计学的严格性，但要求有充分的重复次数。此外，这一测量程序中的
重复观测值，应相互独立例如:
a) 被 测 量是一批材料的某一特性，所有重复观测值来自同一样品，而取样又是测量程
序的一部分，则观测值不具有独立性，必须把不同样本间可能存在的随机差异导致的不确
定度分量考虑进去;
b) 测 量 仪器的调零是测量程序的一部分，重新调零应成为重复性的一部分;
c) 通 过 直径的测量计算圆的面积，在直径的重复测量中，应随机地选取不同的方向
观测;
d) 当 使 用测量仪器的同一测量段进行重复测量时，测量结果均带有相同的这一测量段
的误差，而降低了测量结果间的相互独立性;
e) 在 一 个气压表上重复多次读取示值，把气压表扰动一下，然后让它恢复到平衡状态
再进行读数，因为即使大气压力并无变化，还可能存在示值和读数的方差。
4.7 如果被测量估计值x,在多次观测中存在相关的随机效应，例如，都与时间有关，则按
本规范计算是不妥的。在这种情况下，应采用专门为相关的随机变量测量列的数据处理设
计的统计方法来分析观测值。例如，在晶振频率测量中，由于噪声导致理论方差发散，从
而需采用阿伦方差。
5 标准不确定度的B类评定
5.1 获得B类标准不确定度的信息来源一般有:
a) 以 前 的观测数据;
b) 对 有 关技术资料和测量仪器特性的了解和经验;
c) 生 产 部门提供的技术说明文件;
JJF 1059- 1999 1579
d) 校 准 证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前暂在
使用的极限误差等;
e) 手 册 或某些资料给出的参考数据及其不确定度;
f) 规 定 实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R.
用 这 类 方法得到的估计方差u2(二)，可简称为B类方差
5.2 如估计值z，来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料，其中同时还明确
给出了其不确定度U (x,)是标准差、(二)的k倍，指明了包含因子k的大小，则标准不
确定度u(二)可取U (x,) /k，而估计方差u, (x)为其平方。
例 :校 准 证书上指出标称值为lkg的祛码质量m= 1000.0 0032g，并说明按包含因子k
=3给出的扩展不确定度U=0.2 4mg。则该祛码的标准不确定度为u (m) =0.24mg/3=
SOkg，估计方差为“z (m)= (SOpg)'=6. 4X 10-9g'。相应的相对标准不确定度为:
u ,(m ) = u( m )/ m = 80 X 10 ”
5.3 如x的扩展不确定度不是按标准差，(x)的k倍给出，而是给出了置信概率P为
900o. 95%或99%的置信区间的半宽队。、队。或队。，除非另有说明，一般按正态分布考虑
评定其标准不确定度u (x;)。对应于上述三种置信概率的包含因子k分别为1.64, 1.96或
2.58，更为完整的关系如表Z:
表 2 正 态 分 布 情 况 下 置 信 概 率 P与 包 含 因 子 k，间的关系
0(%) 50 68. 27 90 95 95.45 99 99. 73
k, 0. 67 1 1. 645 1. 960 2 2. 576 3
例 :校 准 证书上给出标称值为10。的标准电阻器的电阻R、在23C 时为
R, (2 3 C ) = ( 10 .0 00 7 4 士 0 .0 00 13 ) f2
同时 说 明置信概率P=99%
由于 U ,, = 0 .13 MSZ，按表2,k ,=2.58，其标准不确定度为u( R,)= Q.13mf2/2.58=
50,,rl，估计方差为u2 (R,)= (SO闷)2=2. 5 X 10-0'。相应的相对标准不确定度为:
um ( R, ) = u (R ,) / R, = 5 X 10 -
5.4 如根据所获得的资料表明，输人量X，的值有50%的概率落于a一和a+的区间内。取
X 的最佳估计值二，为该区间的中点。设该区间的半宽为(a十一a-) /2=a。在假设X 的可
能值接近正态分布的前提下，按表2, k,,=0.67，则取二的标准不确定度“(x,) =a/0. 67,
其方差为u, (x)= (a/0.67)',
例 :机 械 师在测量零件尺寸时，估计其长度以50%的概率落于10.07 mm至10.15 mm
之间，并给出了长度l= (10.11士。.04) mm，这说明。. 04mm为P=50%的置信区间半宽，
在接近正态分布的条件下，按表2,气0=0.6 7，则长度l的标准不确定度为u( l)= 0.0 4mm/
0.6 7=0.0 6mm，其方差为u'( 1)= (0.0 4mm/0.6 7)'-3.5X10-'mm'
5.5 如已知信息表明X 之值接近正态分布，并以0.68概率落于(a十一a-) /2=a的对称
范围之内，按表2, k,=1，则u(二)=a.
5.6 如已知信息表明X 之值z分散区间的半宽为a，且二落于二一“至X,+“区间的概
率D为100%,即全部落在此范围中。通过对其分布的估计，可以得出标准不确定度。(二)
1580 综合卷·计鱼
a/k，因为k与分布状态有关，见表3,
表 3 常 用 分 布 与 k, a ( x ;) 的 关 系
分布类别0(%) k u (s )
正态99.73 3 口/3
三角100 I/T 1/1 /6
梯形/3=0.71 100 2 a/2
矩形(均匀) 100 了3 a/J丁
反正弦100 润厅。户八.
两点100 1 口
表 3中 R 为梯形的上底与下底之比，对于梯形分布来说，k= V-6 /而币)，特别当卢
等于1时，梯形分布变为矩形分布;当R等于。时，变为三角分布。
例 1: 手 册中给出纯铜在20'C时的线膨胀系数aio( Cu)为16.5 2X1 0-"C-'，并说明
此值变化的半范围为a=0. 40X 10-℃一‘。按。:。(Cu)在[(16.52-0.40) X10-E℃一’，
(16.52+0.40) X10-C-]区间内为均匀分布，于是
u( a) = 0 .4 0 X 10 - C 一‘/ 、 万 = 0. 23 X 10-"C一’
例 2: 数 字电压表制造厂说明书说明:仪器校准后1^-2年内，在1V内示值最大允许
误差的模为14X10-'X (读数)+2 X 10-'X(范围)。设校准后20月在1V内测量电压，在
重复性条件下独立测得电压V，其平均值为:
V = 0 .9 2 85 71 V
平均 值 的 实验标准差为:‘(丽)=121LV
电压 表 最 大允许误差的模:
a = 14 X 1 0- eX 0. 92 85 71 V +2X 10- X IV= 15pv
“即 为 均 匀分布的半宽，按表3>k =、万，则示值的标准不确定度为:
u(A V )= 1 5k V/ 、 3 二 8 .7k V
由示 值 不 稳定性导致的不确定度为A类标准不确定度，即:(丽)=12fV ，由示值误差
导致的标准不确定度为B类标准不确定度，即u(△、)=8. 7}V o
5.7 在缺乏任何其他信息的情况下，一般估计为矩形分布是较合理的。但如果已知被研究
的量X 的可能值出现在“一至a+中心附近的概率，大于接近区间的边界时。则最好按三角
分布计算。如果z本身就是重复性条件下的几个观测值的算术平均值，则可估计为正态分
布(参见附录B)e
5.8 在输人量X，可能值的下界a一和上界“十相对于其最佳估计值X并不对称的情况下，
即下界a一二一b- ，上界a+= X;+ b+其中b--7 b+。这时由于X不处于a一至a+区间的中心，
X 的概率分布在此区间内不会是对称的，在缺乏用于准确判定其分布状态的信息时，按矩
形分布处理可采用下列近似评定:
U2 (X)一(b++ b-)l ( a十一a-)z
12 1 2
(16)
JJF 1059- 1999 1581
例 : 设 手册中给出的铜膨胀系数a,o( Cu) =16.52X10-'℃一‘，但指明最小可能值为
16. 40X 10-℃一’，最大可能值为16. 92 X 10-℃一’。
这 时 ， b- 06.52一16.40)X 10-℃一‘
-0 .1 2 X 10 - s"C -'
b+ = (1 6. 9 2 一 1 6. 52 ) X 10 - ℃ 一，
=0 .4 0 X 10 - ℃ 一，
由式 ( 16)得:
u( azo ) = 0. 15 X 1 0- 6℃ 一 ，
有 时 对 于不对称的界限，可以对估计值x，加以修正，修正值的大小为(b+-b_)/ 2，则
修1F后二，就在界限的中心位置x,= (a_+a+) /2，而其半宽a= (a+-a_) /2，从而可按
5.4-5.7各节所述方式处理。
5.9 对于数字显示式测量仪器，如其分辨力为8x，则由此带来的标准不确定度为u (x)=
0. 298x.
对 于 所 引用的已修约的值，如其修约间隔为8x，则因此导致的标准不确定度为u (x)
=0. 298a。
5.10 在规定实验方法的国家标准或类似技术文件中，按规定的测量条件，当明确指出两
次测量结果之差的重复性限r或复现性限R时，如无特殊说明，则测量结果标准不确定度
为u (x)=r/2. 83或u (x)=R/2. 83(参见IS05725: 1994Accuracy of measurement methods
and results)
5.11 当测量仪器检定证书上给出准确度等别时，可按检定系统或检定规程所规定的该等
别的测量不确定度大小，按5.2 或5.3进行评定。
当测 量 仪 器检定证书上给出准确度级别时，可按检定系统或检定规程所规定的该级别
的最大允许误差与其他信息进行评定。
5.12 B类不确定度分量的自由度与所得到的标准不确定度u (x)的相对标准不确定度
a {u (x,)}/u (x)有关，其关系为:
v;
1 u2(x)
2 a'[u (x)习12rLD(uU (xx ,,))」一’ (17)
根 据 经 验，按所依据的信息来源的可信程度来判断u (x,)的标准不确定度，从而推算
出比值。仁u (x,)] /u (x,)。按式(17)计算出的v;列于表4:
表 4 0 F u (x ,门 /u ( x) 与 v‘关 系
。[。(z)]/。cz)
0
0 . 10
0. 2 0
0 . 2 5
一:
Cu (z)]/u (zJ
0. 3 0
0 . 40
0 . 50
合成标准不确定度的评定
6.1 合成标准不确定度按输出量Y的估计值v给出的符号为“‘(刃。其中，y通常采用量
1552 综合卷·计鱼
的符号，如表压p，动力粘度7,溶液中NaCl的质量分数，(NaCl)的合成标准不确定度，
可分别表示为u, (p)、u,(妇、u. [w (NaCI)]e u.' (y)为输出估计值的合成方差，而合
成标准不确定度u,(妇为其正平方根。可以按不确定度分量的A, B两类评定方法分别合
成，如u[.A(必、u'.(户分别为仅按A, B类标准不确定度分量的合成不确定度。
6. 2 当全部输人量X 是彼此独立或不相关时，合成标准不确定度u,(户由下式得出:
。;(，卜NrILoaxf ;扮(x (18)
式中，标准不确定度u (x)既可以按A类，也可以按B类方法评定。u}(妇是个估计的
标准差，表征合理赋予被测量Y之值的分散性。式(18)是基于Y=f(二，二:，一，XN)的
泰勒级数的一阶近似，称为“不确定度传播律”。但当了是明显非线性时，式(18)中还应
包括泰勒级数的高阶项，当每个输人量X 都对其平均值二对称分布时，加进式(18)的下
一高阶的主要项为:
1「If 7i*.
万Lax,dx,」卞
of alf
2x, dx刁x{
u'(x,)u'(x;)
N艺
N艺
6.3 偏导数afldx是在X=二，时导出的，这些偏导数称为灵敏系数，符号为‘，即C,- aP
ax。它描述输出估计值Y如何随输人估计值二】，x,,⋯，xN的变化而变化。尤其是，输人
估计值二的微小变化Ax引起Y的变化，可用(Ay)二(of阳二)Ax.= C.Ax表示，如这一
变化系u(二)所导致，则Y的相应变化为(af/ax;) u (x;) =c;u (x,)。因而式(18)在
x，互不相关时，可表达为:
U,' (Y)= 艺[c,u(x;)]} 艺‘(Y)
今】r奋,
)
(19)
式中，c;=af/axn u, (Y) -I。lu (x
偏 导 数 应是在X，的期望值下评定，即:
o f o f
ax ， 一 ax
例 : 在 3.9节的例中，
。 = aP 归 V = 2V / R. [1 + a (t 一 to )] = 2P/V
ci = aP /a Ra = 一 V 2/ R I[1 + a (t 一 to )] =一P/&
c, = dP /a a = 一 VI (t 一 to)/&[1 + a(t一to)]z
= 一 P (t 一 to) /[ 1 + a( t一 t。) 01
c, = aP /a t= 一 V' a/ R, [1 + a (t 一 to)],
= 一 Pa /仁 1 + a( t 一 t,) ]
由于各分量互不相关，因而合成方差u, (P)为:
u2(P)一「翼}2u}(V)+
L 口 v -
a尸
刁K
厂a 尸l}。、
+LaaJ u'(a，十
u}(Ro)
」2·’(‘’
行川侧护-孔
=[ciu(V)]}十[ciu(R,)]'+ [c3u(a)]}+ [c,u (t) ]'
=u}(P)+ uz(P)+ “1(尸)+ u;(P )
JJF 1059- 1999 1583
6.4 有时，灵敏系数。，可由实验测定，即通过变化第i个x;，而保持其余输人量不变，从
而测定Y的变化量。
6.5 如果，式(2)对输人量X 的标称值凡作一阶展开:
Y = Y + C A + ‘ 疥 :+ ⋯ + c," 匀
式中: Yp = f
‘， 一 af /d X ，即 Y 一 f( X X 2 '...>X N)在X;=X;,。求导;
S; = X ，一 X ;. a
为 了 分 析不确定度，常将X，变换到a，使被测量近似地为线性函数。
例 :5 .6 节例2中电压V=丽+AV，设电压重复测量按A类评定方法得出u(丽)=
12pV，而测量出的平均值丽=0. 928571V，附加修正值△V=Oo
测量 仪 器 引人的标准不确定度u (AV)= 8.7tV ，由于av/av=1及av/a( AV)= 1,
并且，v与△V彼此独立，故v的合成方差为:
u若 (V )= u '( 百 )+ u ,( A V )
= (1 2p v ) z+ (8 .7 p V )z = 2 20 X 10 - 'zV '
合 成 标 准不确定度为:
u,( V )= 15 pv
相 对 合 成标准不确定度为:
u}. ,i( V ) = u ,(V ) / V = 1 6 X 1 0-
6. 6 在X，彼此独立的条件下，如果函数f的形式表现为:
Y = f( X X 1 ,.. ..X N )
=c X ;且X 犷z .. . X 知
式中，系数。并非灵敏系数，指数p，可以是正数、负数或分数，设p，的不确定度u (p)可
忽略不计，则式(18)可表示为:
N
[u }(y )/ y} } = 艺 [p ,u (x )/ 二 〕e (2 0)
r片 王
这 里 ， 给出的是相对合成方差，式(20)说明在这一函数关系下，采用相对标准不确
定度u-i=u(妇/ly}和“I (x;) =u (x,) /Ix}进行评定比较方便，但要求y共。和二-A0
而 且 ，当 Y具有这一函数形式时，可设X:=戈*。(1十8,)，从而实现将Y变换成线性函
数(见6-5)，并得到以下近似关系:
(Y一YO /Yo= Ep:民
了 一 1
另外，对数变换Z=1nY和W:=InX。可以使新的变量完全线性化为:
Z= Inc十艺丸W
如果，指数p，只是+1或一1，式(20)就进一步简化为:
rv
[u, (y )/川 2 = 艺 [u (二 )/ 二」 2
护 = 1
即估计值y的相对方差等于输人估计值二的相对方差之和。若y=x0，则
1584 练合卷·计里
u,(YY) u(xx)
即Y为二的r=次幂时，Y的相对不确定度等于x的相对不确定度的。倍。
例1:立方体体积v的测量通过输人长l,宽b和高h，其函数关系为:
V = f (l ,b ,h ) = l bh
按式(20)可得:
u}(V )
V
z fu(l)l' . Fu (b ) l' fu (h )下
= }--二- }+ !--;- 1 十!— !
L t J L a J L n J
或写成:
u,',e (V ) = U L,( 1 ) + u re,( b ) + u;, (h )
例 2: 圆 柱体体积V的测量通过输人半径r与高h，其函数关系为:
V 二 x r' h
式中，u (n)可通过取适当的有效位而忽略不计，则按式(20)可得:
W} ,,(V ) = 2 2u re,( r) + u re,( h)
6.7 当被测量Y为相互独立的输人量X，的线性函数时，且灵敏系数‘为十1或一1，则式
(18)可简化为:
N
W, (Y)= 艺U, (x) (21)
例 :Y - x,+ x2
且 x 与 x:不相关，u (x,) =1.73mm,u (二:)=1.1 5mm
则 ‘ (y )二u,( x)+u2( x2)
u, = 、谊 沪 = 2 .0 8 m m 、 2. lm m
6.8 当输人量X 之间明显相关时，就必须考虑其相关性。相关常由相同原因所致，比如
当两个输人量使用了同一台测量仪器，或者使用了相同的实物标准或参考数据，则这两个
输人量之间就会存在较大的相关性。
‘.， 当输人量相关时，测量结果v的合成方差u, (v) 的表达式为:
“:(，)一,E=1;E-,a ofx; ao xf; u (x x;)
N oaf
幸之二)育了
(= 1L 口沈月
Z N - 1 N
“，(x)十2艺艺(22)
百件1尹= f十1
of afu(x:.x)
ax; ax;
式中，x，和x分别是X 和X 的估计值，而协方差“(x:, x:) =u (x;, x,)，则x与x，之
间相关程度可用估计的相关系数来表示:
r(x x户=
u(x;,x;)
u( x;)u ( x户
(23)
式中，
X,) =
x x.) =r (x;, x)且一1-<r (x;, x;) G+1，如二与x相互独立，则/(x,
。，即一个值的变化不会预期另一个值也发生变化。
相关系数这一术语比协方差易于理解，式(22)中的协方差项可写成:
N - 1 N
ZE 习
IJ_:+
of afu(x;)u(x,)r(二，二) ax, ax ,
(24)
JJF1059- 1999 1585
采用灵敏系数的符号，式(22)即为
u苦(，)=艺c矛u, (x)
在 所 有 输人估计值都相关，
化为:
+“凰勇c,c;u(xi)u(x,)r(x x,)
且相关系数r (x x;) =1的特殊情况下，式
(2 5 )
(25) 简
。:(，卜:IENc,u ( x) 〕2一[Edfu ( x )
这 时 ，u ,(妇为由每个输人估计值二，的标准不确定度“(x)产生的输出估计值y的
标准不确定度分量“，(y) =c,u (x)的线性和。
例 :当 标 称值均为1kQ的10个电阻器，用同一个值为R，的标准电阻器校准时，设校
准不确定度可忽略，检定证书给出的R，不确定度为u (R,) =0.10CI。现将此10个电阻器
1 O
用电阻可忽略的导线串联，构成标称值为1okQ的参考电阻R ,=f (R;) =ER。由于对电
月- ,
阻器来说;(x，x;)=:(R，R)=1,d f /dx,=RR,,,/aR,=1,u (x,) =u (R)=
u (R)，则:
·:(，，一〔EN二c,u(Xx,): 2一 [ N d fx ;·u ( Xx ，;) ]2
, o
故得u. (R J =又u (R,) =lOXO.lOS2=1.OS1
6.10 合成标准不确定度“, (y)的自由度称为有效自由度V,a，如果武<y)是两个或多个
估计方差分量的合成，即u,'(，，=凰,=1c'u,(x ;)，则即使当每个x,均为服从正态分布的输人
量X，的估计值时，变量妙-Y) /u,户可以近似为L分布，其有效自由度V,y可由韦尔奇一萨
特思韦特(Welch-Satterthwaite)公式计算:
U! (Y)
睿ui(Y)
(26)
显然有:
v<+毛艺 v:
才今 1
式(26)也可用于相对标准不确定度的合成，按式(20)计算时有:
va一零华 /Y典
客 L P,u lzv,;l/z';J'
[u。(Y) ]0
[户u ,(z )〕‘
从
(27)
必要时除verc外，可分别处理u叙(刃和u昆(刃对试(刃的贡献，其关系为:
u着 (Y )= u欲 (Y ) + u昆 (Y )
例:设Y=f (X ，Xz> X,)=bX,XzX,，输人量X X" X,彼此独立，其估计值x、
15 86 综合卷·计全
二:、z3是独立重复观测值的算术平均值，重复次数分别为n,=10, n2=5和n,=15，则其相
对标准不确定度分别为:
u' ,(X ,) 一 u( X, )/ 二: = 。 .2 5
u+ i(.z z) =u(XI)/XI = 0 .5 70 0
u.a ( x ,) 一 u ( .z' ,)/ x , = 。 .8 2写
则其 合 成 方差按式(20)为:
3
u,,d(Y) =[uJY)/YT= 艺[u,,,(二)11
卫 = 1
= (1 .0 3 % )'
有效自由度为:
，re](Y) 1. 0 3'
u,',v(;x ,) 1 00.2 -5' 1 + 50.- 571' 十 105.8-2
- 1 9
6.11 当随机效应或系统效应导致的不确定度分量，既可以按统计方法取得，又可以按其
他方法评定时，只允许在u} (Y)中包含其中的一个。
同 一 种 效应导致的不确定度已作为一个分量进入“。(Y)时，它不应再被包含在另外的
分量之中。例如:在几何量测量中，通过重复安装进行读数来得出被测件由于安装的不确
定度因素导致的分量，其中就包含了读数导致的分量，在计算“。(Y)时，就不应再加人读
数的不确定度分量。
， 扩展不确定度的评定
，.1 扩展不确定度分为两种:
a) 在 合成 标准不确定度u,(刃确定后，乘以一个包含因子k，即U-ku,(刃。可以期
望在Y-U至Y+U的区间包含了测量结果可能值的较大部分。k值一般取2-3，在大多数
情况下取k=2，当取其他值时，应说明其来源。
b) 将 u, (妇乘以给定概率P的包含因子kp，从而得到扩展不确定度U 。可以期望在
Y-U，至Y+U，的区间内，以概率P包含了测量结果的可能值。k，与Y的分布有关。当可
以按中心极限定理估计接近正态分布时，k，采用t分布临界值(或简称t值，见附录A),称
=t, (v}n)，一般采用的p值为99%和9500。多数情况下，采用p=95%。对某些测量标准
的检定或校准，根据有关规定可采用p=99%。当veu充分大时，可以近似认为k,,-2.
k,,-3，从而分别得出U9,=2u, (y), Us,=3u, (y)
7.2 当只给出扩展不确定度U时，不必评定各分量及合成标准不确定度的自由度，，及V}ffe
在 实 际 工作中，如对Y可能值的分布作正态分布的估计，虽未计算V,f，但可估计其值
并不太小时，则U=2u, (y)大约是置信概率近似为95%的区间的半宽，而U= 3u,(刃大
约是置信概率近似为99%的区间的半宽。
7.3 如果可以确定Y可能值的分布不是正态分布，而是接近于其他某种分布，则绝不应按
k=2-3或k,-tp (Ve1I)计算U或U,。例如，y可能值近似为矩形分布，则包含因子k，与
JJF 1059- 1999 1587
U，之间的关系如下
65 71
对于
对于
Uss+kp=
U ,k,=
8 测f不确定度的报告与表示
8.1 当给出完整的测量结果时，一般应报告其测量不确定度。报告应尽可能详细，以便使
用者可以正确地利用测量结果。按技术规范要求无需给出测量不确定度的除外。
8.2 在工业、商业等日常的大量测量中，有时虽然没有任何明确的不确定度报告，但所用
的测量仪器是经过检定处于合格状态，并且测量程序有技术文件明确规定，则其不确定度
可以由技术指标或规定的文件评定。
证 书 上 的校准结果或修正值应给出测量不确定度。
8.3 对于比较重要的测量，不确定度的报告一般包括以下内容:
a) 有 关 输人量与输出量的函数关系以及灵敏系数。;
b) 修 正 值和常数的来源及其不确定度;
c) 输 人 量X 的实验观测数据及其估计值s，标准不确定度u (x)的评定方法及其量
值、自由度V,，并将它们列成表格;
d) 对 所 有相关输人量给出其协方差或相关系数r及其获得方法:
e) 测 量 结果的数据处理程序，该程序应易于重复，必要时报告结果的计算应能独立
重复。
8.4 当用合成标准不确定度报告测量结果的不确定度时，除8.3所涉及的内容外，还须
注意:
a) 明 确 说明被测量Y的定义;
b) 给 出 被测量Y的估计值Y、合成标准不确定度u。(户，及其单位，必要时还应给出
自由度V,rt或VdfA " V&9.
C) 必 要 时也可给出相对标准不确定度uc】(必。
8.5 合成标准不确定度u}(必的报告可用以下4种形式之一，例如，标准祛码的质量
为m，测量结果为100.02147g，合成标准不确定度。。(m)为。.35mg，则
a) m . 一 100.02147g;合成标准不确定度ul( m)=0.35 mg.
b) m , = 100.02147( 35)g ;括号内的数是按标准差给出，其末位与前面结果内末位数
对齐。
c) m , =1 00.02147( 0.00035)g ;括号内按标准差给出，与前面结果有相同计量单位
d) m = (100.02147士。.00035)g ;正负号后之值按标准差给出，它并非置信区间。
形 式 b) 一般用于公布常数、常量
形 式 d )虽为IS031《量和单位》一贯采用，但因习惯上用于表示高置信概率的区间，
一般应避免使用。
8.6 当用U或U,报告测量扩展不确定度时，除8. 3所涉及的内容外，还应注意:
a) 明 确 说明被测量Y的定义;
b) 给 出 被测量Y的估计值Y，扩展不确定度U或U。及其单位;
1588 综合巷·计鱼
c) 必 要 时也可给出相对扩展不确定度Urei;
d) 对 U 应给出k值，对U，应明确p值，本规范推荐给出v,a，以便于不确定度传播到
下一级。
8.7 U=ku, (y)的报告可用以下两种形式之一，例如，“。(刃=0. 35mg，取包含因子k=2,
U=2 X 0. 35mg=0. 70mg，则
a) m ,= 100.021478;U =0.70mg;k =2,
b) m ,= (100.0 2147士0.00070) g;k = 2e
8.8 U,=称u,(必的报告可用以下4种形式之一，例如，u,(刃=0.35mg,v ,a=9,按
p=95%,查附录A得kp=t95 (9) =2.26, U =2.26X0.35mg=0.79mg，则
a) m ,= 100.021478; U,,=0.7 9mg; v,;;=9,
b) ， ，= (100.02147士0.00079) 9;v ,a=9，括号内第二项为U95之值。
c) m , = 100.02147 (79)g ;v ,u=9，括号内为Uss之值，其末位与前面结果内末位数
对齐。
d) m , = 100.02147( 0.00079)g ;v ,;;=9，括号内为Us之值，与前面结果有相同计量
单位。
8， 不确定度也可以相对形式Urei或“rel报告，例如:
a) m ,= 100.0 2147 (1士7.9X10-s)g ;p =95%，式中7.9 X 1 0-为Us-，之值。
b) m , = 100.021478;U ,5 ,=7.9X10-6,
8.10 上述列举的表达形式中的符号含义，必要时应有文字说明，也可采用它们的名称代
替符号，或同时采用。如有必要，单位的符号亦可代之以中文符号或名称。
8.11 通常在报告以下测量结果时，使用合成标准不确定度“。(妇，同时给出自由度v,rf
a) 基 础 计量学研究;
b) 基 本 物理常量测量;
。) 复 现 国际单位制单位的国际比对(按有关国际规定，亦可采用k=2),
8.12 当给出扩展不确定度U，时，为了明确起见，推荐以下说明方式，例如:
m, = (1 00 . 02 14 7 士 0 .0 0 07 9) g
式中，正负号后的值为扩展不确定度认，=甄u,，而合成标准不确定度u. (m,) =0.35mg,
自由度，=9，包含因子k,=ts (9) =2.26，从而具有约为950o概率的置信区间。
8.13 估计值y的数值和它的合成标准不确定度“。(刃或扩展不确定度U的数值都不应该
给出过多的位数。通常“。(刃和U仁以及输人估计值z的标准不确定度“(x,)」最多为两
位有效数字。虽然在某些情况下，为了在连续计算中避免修约误差而必须保留多余的位数。
在 报 告 最终结果时，有时可能要将不确定度最末位后面的数都进位而不是舍去。例如，
u. (y) =10.47m0，可以进位到11m0。但一般的修约规则(参见GB3101-1993《有关量、
单位和符号的一般原则》)也应该可用。如u (xi) =28.05kHz经修约后写成28kHz,输人
和输出的估计值，应修约到与它们不确定度的位数一致。例如，如果y=10.05 7620，其
“。(妇=27mf1，则y应进位到10.05 851。如果相关系数的绝对值接近1时，则相关系数应
给出三位有效数字。
JJF 1059- 1999 1589
附 录 A
t分布在不同置信概率P与自由度v的t, (v)值(t值)
(补 充 件 )
1》火100
曰田通处F
68. 270 90 95 95. 45- 99 99. 730
1 } } 一13. 97 } }
2 } } } } 4.53 一} 19.2 1
3 1.2 0 2.3 5 3.1 8 一} 9.2 2
4 } } 2.7 8 } }
5 } 2. 02 2. 57 } 4. 03 5. 51
} 一
6 1.0 9 1.9 4 2.4 5 } 一
7 一一1.8。 一} 2.4 3 3. 50 4.5 3
8 一} 1.86 一} 一2.37 一} 4.2 8
9 1.0 6 1.8 3 } 一2.3: 一} 4.0 9
10 1. 05 1. 81 } 一} }
} } } }
11 } } } 2. 25 } 3.85
12 1.04 } 2.18 } } 一
13 } ‘·。4 } 2. 16 } 3. 01 3. 69
14 } } { 2. 20 2. 98 }
15 } 1. 75 一2. 18 2. 95 3. 59
}
16 } 一2. 12 2. 17 } }
17 } 一1.7、 一} 一} }
18 1.03 一1.73 一} 一2.8 8 3.4 8
19 1.03 一} 一 2.8 6 3.4 5
20 1.03 1. 72 } 2. 13 2. 85 3. 42
一}
25 一} 2. 06 2.11 } 一
30 1.02 } 一} } 3. 27
35 } } 一{ 2. 72 }
40 1.01 } 一一{ 3. 20
45 1.01 1. 68 一一2. 69
一 {
} 一一一}
50 1.01 一2.0 1 一} 3. 16
100 1. 005 1. 660 1. 984 2.025 2. 626 3. 077
1.000 一} 1 .960 一} 2.5 76 一
对期望k，总体标准a的正态分布描述某量2，当k=1, 2, 3时，区间1'士k,分别包含分布的68.27%, 95.45%,
73%
1590 综合卷·计鱼
注:当自由度较小而又有较准确要求时，非整数的自由度可按以下两种方法之一，内插计算t值
1) 按 非 整F内插求t,(，)
对 岁 = 6. S , p = 0. 9 9 73 ，由
t,( 6) 二 4 .9 0, t, (7 )= 4. 53
得 t , (6.5) =4-63+ (490-4.53) (6.5一7)/(6-7) =4 72
2) 按 非 整，由‘‘内插求t,(，)
例 对 v=6.5,p =0.9973，由
t, (6 ) = 4 .9 0 ,t, ( 7) = 4. 53
得 t , (6.5)今 1. 53 + (4.90-453) (1/6.5一1/7)/(1/6一1/7)= 4.72
以 上 ，第 二种方法更为准确。
附 录 B
概率分布情况的估计
(参 考 件 )
B.1 正态分布
a) 重 复 条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布;
b) 被 测 量Y用扩展不确定度U，给出，而对其分布又没有特殊指明时，估计值Y的分
布;
c) 被 测 量Y的合成标准不确定度uc(刃中，相互独立的分量u (刃较多，它们之间
的大小也比较接近时，Y的分布;
d) 被 测量 Y的合成标准不确定度u。(妇中相互独立的分量u，(户中，存在两个界限
值接近的三角分布，或4个界限值接近的均匀分布时;
e) 被 测 量Y的合成标准不确定度“。(妇的相互独立的分量中，量值较大的分量(起
决定作用的分量)接近正态分布时。
B.2 矩形(均匀)分布
a)数据修约导致的不确定度;
b)数字式测量仪器对示值量化(分辨力)导致的不确定度;
c)测量仪器由于滞后、摩擦效应导致的不确定度;
d)按级使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导致的不确定度;
e)用上、下界给出的线膨胀系数;
f)测量仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度;
9)平衡指示器调零不准导致的不确定度
B.3 三角分布
a)相同修约间隔给出的两独立量之和或差，由修约导致的不确定度;
b)因分辨力引起的两次测量结果之和或差的不确定度;
c)用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不准导致的不确定度;
JJF 1059- 1999 1591
d)两相同均匀分布的合成。
B-4 反正弦分布(U形分布)
a)度盘偏心引起的测角不确定度;
b)正弦振动引起的位移不确定度;
c)无线电中失配引起的不确定度;
d)随时间正余弦变化的温度不确定度。
B. 5 两点分布
例如，按级使用量块时，中心长度偏差导致的概率分布。
B·6 投影分布
a) 当 X 受到1-cosa(角a服从均匀分布)影响时，x，的概率分布;
b) 安 装 或调整测量仪器的水平或垂直状态导致的不确定度。
B.7 无法估计的分布
大 多 数 测量仪器，对同一被测量多次重复测量，单次测量示值的分布一般不是正态分
布，往往偏离甚远。如轴尖支承式仪表示值分布，介于正态分布与均匀分布之间，数字电
压表示值分布呈双峰状态，磁电系仪表的示值分布与正态分布相差甚远。
附 录 C
有关t的符号汇总
(参 考 件 )
以 下 符 号来源于GUM;I S03534-1:1 993;I EC27与IS05725-1:1 994,
a 输人量X，可能值为矩形分布时的半宽;
a= (a +一 a _ )/ 2
a+ 输人量X，的上限
a_ 输人量X，的下限
b 修正值
抓输人量X，按其估计值x的偏差的上限:
b+ = a + 一 x ;
b一输入量X 按其估计值二。的偏差的下限:
b_ 一 x ，一 a
cov 协方差，随机变量Y和z的协方差表示为cov (y, z) =cov (z,妇
c 偏导数或灵敏系数‘=a f/a x,
f 被测量Y与和Y有关的输人量X，之间的函数关系，或输出量估计值y与和
v有 关 的 输 人 估 计 值 x 之 间 的 函数关系
a f/a x， 偏微分(偏导数)
1592 综合卷·计t
n
N
p
尸(A):Pr(A)
4k
r
r(x x)
r (X, X )
r(Y,,Y,)
R n纬今sr
:)(、)
输人量X 与被测量Y之间存在函数关系f时，X 之估计值量x，的偏微分，
恒按下式估计:c,=2 f/a二一:，幼
包含因子(覆盖因子)。用于与输出量估计值Y的合成标准不确定度u,(必
相乘，以得出扩展不确定度U=ku}(刃的包含因子。由此，可给出一个具
有较高置信概率的区间Y=Y士U
用于与输出量估计值Y的合成标准不确定度u}(刃相乘，以保证所得到的
扩展不确定度Up= kpu ,(刃具有某给定置信概率(置信水平)p的包含因子
总平均值;被测量的个数;与被测量Y有关的输人量x，的数目
重复观测次数
与被测量Y，有关的输人量X，的数目
概率;置信概率;置信水准;置信水平:0(p(1
事件A发生的概率
用概率分布描述的随机变量
随机变化的量4在n次独立重复观测中的观测值4，的算术平均值;4概率分
布均值p、或其期望的估计
随机变量独立重复观测中4的第k个观测值
重复性限
输人量X，与X，的输人估计值x，与x，的估计相关系数:
r(x x,) = u (x x ,)/ u( x,) u( x)
通过输人量X，和X，的n对独立同时重复观测值戈*和凡，所确定的输人均
值X,和X,的估计相关系数:
r( X; ,X ) = s (X ;,X ; )/ s(X ;)s(X)
在同一测量程序中所确定的两个或多个输出量或是被测量中，输出估计量y.
与y，的估计相关系数
复现性限(再现性限)
方差的组合样本估计值
组合样本标准差;等于so的正平方根
重复性标准差
复现性标准差(再现性标准差)
算术平均值舀的实验方差，它是算术平均值万方差a2/n的估计值。方差由A
类评定方法获得
算术平均值4的实验标准差，等于4实验方差s' (q)的正平方根;‘(q )是
总体标准差。(q )的有偏估计;为A类评定方法获得的标准不确定度
变量4的n次独立重复测量值9*所得到的方差的样本估计，是变量4的概
率分布的总体方差a2的估计
实验标准差或样本标准差，等于样本方差扩(qk)的正平方根;它是变量q的
概率分布的总体标准差。的有偏估计
妇恤护
JJF 1059- 1999 1593
s, (X
S (x
s(q,r)
(X;,X
t ,(v),n)
u,( x
U (x)
u(x;,x)
u }(Y)
U}(Y )
uA(，)
uu(Y)
“c(，，)
u了(Y)
u;(Y )
输人量X，的均值风的实验方差，由X，的n次独立重复观测值戈，;所得出;
A类评定方法获得的方差
输人量X的均值了，的实验标准差，等于方差:z(又)的正平方根。由A类
评定方法所获得的标准不确定度
均值4与r的协方差的估计。这两个均值是两随机变量4与:的期望N和f1.
的估计，而且它们是由n对独立同时重复观测4*和r。所计算出的;协方差
由“类评定方法所获得·(;，Y)一石六I)客 (qk -q) (rk - r)
输人量X，和X，的均值X，和X，的协方差的估计。它们由n对独立同时重复
观测值X k和X;.k所得出;协方差由A类评定方法所获得
t一因子(t-factor)。它按所给定的概率P与已知的自由度，给出
对于有效自由度va以及与给定概率p相应的t分布的t值它用于计算扩展
不确定度U
输人量X，的估计值二，的估计方差
注:当二r由。次重复观测值的算术平均值得出时:
u' (x ) = s' (X )
即自A类评定方法所获得的方差
输人估计值x，的标准不确定度。x是输人量X 的估计。“(x)等于方差
u2(二)的正平方根
注:当二，是由，次独立重复测量的算出时
u( x )= , (X )
即自A类评定方法所获得的标准不确定度(A类标准不确定度)
两输入量X，和X 的输人估计值x与x的估计值协方差
注:二与x，是从，次独立同时重复观测值算出时，有:
u( x; ,z ) = s( X" X )
即是从A类评定方法所获得的协方差
输出估计值Y的合成方差
输出估计值y的合成标准不确定度，等于合成方差u}(妇的正平方根
输出估计值Y的所有按A类评定方法所确定的标准不确定度以及协方差的
合成标准不确定度(A类合成标准不确定度)
输出估计值y的所有按B类评定方法所确定的标准不确定度以及协方差的
合成标准不确定度(B类合成标准不确定度)
在同一测量程序中，有两个或两个以上的被测量或输出量y，时，输出估计值
Y，的合成标准不确定度
由输人估计值x的估计方差u, (x)所形成的估计值Y的合成方差耐(妇的
分量:
u于( y )二 [ c; u(x i) T
由输人估计值x，的标准不确定度u (x)产生输出估计值Y的合成标准不确
1594 综合巷·计鱼
u(yay)
“恤)/一二，一
u,(y)/IyI
[u(二)/r〕
仁u,(y)/y],
u(x，x)
}x x}
u+1; u,
U
乙r
um;
up,;
」
U.
U,,
X
X,.,
y
定度u,(必的分量u;(刃兰is}“(二)
输出估计值y，与y，的估计协方差(在同一测量程序中的输出估计值
y与y;)
输人估计值x的相对标准不确定度，也用u. (二)
输出估计值y的相对合成标准不确定度，也用“-1(刃
输人估计值x的估计相对方差，也用u+i (y)
输出估计值y的相对合成方差，也用u,',,i (y)
输人估计值x和x的估计相对协方差，也用u-1(二，二)
相对标准不确定度
提供一个置信区间Y=y士U的输出估计值y的扩展不确定度。它等于包含
因子k与y的合成标准不确定度u,(妇之积:
U 一 k u, (y )
以置信概率P提供置信区间y=y士U，的输出估计值y的扩展不确定度。它
等于包含因子k，与合成标准不确定度“。(y)之积:
u= k,u ,( y)
相对扩展不确定度，相对展伸不确定度
置信概率p的置信区间相对半宽度;概率为p的相对扩展不确定度
输人量X，的估计值
注:当二，是由n次独立重复观测值的算术平均值得出时:
工， = X .
与被测量Y相联系的第i个输人量
注:X，可以是物理量或随机变量
输人量X 的估计值，等于X 的n次独立重复观测量值戈，*的算术平均值
输人量X，的第k个独立观测值
被测量Y的估计值;测量结果;输出估计值
在同一测量程序中，当有两个或多个被测量要测出时，被测量Y的估计值
被测量Y测量结果的算术平均值
y，的平均值;y的总平均值
分辨力;修约间隔
随机变量4概率分布的期望或均值;数学期望;总体平均值
自由度的一般符号
输入估计值二的标准不确定度u (x)的自由度
在计算扩展不确定度U，时，为得到t一因子tP (yon)，合成标准不确定度
u} (y)的有效自由度
所有通过A类评定方法所获得的标准不确定度分量合成后，成为一个A类
标准不确定度的有效自由度，即WA (y)的有效自由度
所有通过B类评定方法所获得的标准不确定度分量合成后，成为一个B类
丛一y =y 占八吻鲡鲡
JJF1059- 1999 1595
a,(q )
o'(q )
a(q)
。，仁s(q)]
a[s(q)]
a{u(x)}
u (x )
标准不确定度的有效自由度，即“B(y)的有效自由度
随机变量q概率分布的方差，用s' (qk)估计
概率分布的标准差;标准差的真值。等于口“的正平方根，:(q<)为。的有偏
估计值
q的方差，等于。Vn，由:2(q)估计:
S,( q ) = s'( q1 )/二
q的标准差，等于a' (q)的正平方根;、(动为，(q)的有偏估计
q的实验标准:(q)的方差
平均值q的实验标准差、(q>的总体标准差，等于a}[:(q)」的正平方根
标准不确定度u (x)的相对不确定度，用于评定B类标准不确定度的自由度
附 录 D
术语的英汉对照
(参 考 件 )
arithmetic mean (or average) 算术平均值
central limit theorem 中心极限定理
combined standard uncertainty 合成标准不确定度
confidence interval 置信区间
confidence level 置信概率，置信水平(置信水准)
confidence limit 置信限
correlated imput estimates or quantities 相关输人估计值或量
correlated output estimates or quantities 相关输出估计值或量
correlation 相关
correlation coefficient 相关系数
covariance 协方差
degrees of freedom 自由度
degrees of freedom, effective 有效自由度
distribution, a priori先验分布(主观分布)
distribution, Laplace-Gauss 拉普拉斯一高斯分布
distribution, normal 正态分布
distribution, probability 概率分布
empirical model经验模型
estimation 估计。估计值
estimate 估计，估计值
estimator 估计量
expanded uncertainty 扩展不确定度(展伸不确定度)
expectation 期望
1596 练合卷，计量
expectation 期望值
independence 独立
input estimate 输人估计值
input quantity 输人量
law of propagation of uncertainty 不确定度传播律
level of confidence 置信概率，置信的水平，置信水准(置信水平)
mathematical model of the measurement 测量数学模型
output estimate 输出估计值
output quantity 输出量
probability 概率
random effect 随机效应
random variable 随机变量
related standard uncertainty 相对标准不确定度
related combined standard uncertainty 相对合成标准不确定度
related expanded uncertainty 相对扩展不确定度，相对展伸不确定度
repeatability conditions 重复性条件
repeatability limit 重复性限
sensitivity coefficient 灵敏系数
standard deviation 标准[偏口差
statistic control 统计控制
systematic effect系统效应
t-factor t因子
t-distribution t分布
TypeA s tandardu ncertainty A类标准不确定度
TypeB s tandardu ncertainty B类标准不确定度
variance 方差
variance, analysis of 方差分析
variate 随机变量
Welch-Satterthwaite formula 韦尔奇一萨特思韦特式(W-S式) |
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